拉普拉斯算子, 又称拉普拉斯方程， 即?^2, 表示为一个势函数Φ 对x和y的二次偏导数之和, x,y是直角坐标系下的坐标, 现在进行坐标变换, 从Φ＝Φ(x,y)变换为Φ＝Φ(r,θ)，
r,θ是极坐标系下坐标，则拉普拉斯算子在极坐标系下的表达为何？
一般的参考资料都是直接给出表达式，但中间过程是如何推导的几乎没有。今天我仔细作了一番演算，揭示拉普拉斯算子从直角坐标系变换到极坐标系下的秘密。
其中的数学过程分为两部分,首先对x的二次偏导变换，然后对y的二次偏导数变换，然后将两部分加起来得到全表达式。这样做的目的是为了方便检查，因每一项展开来之后都会有相继的子展开式，如果不分开会十分混乱，容易出错。
解决问题的钥匙是r,θ对x,y分别求偏导，一共有四组式子，是用三角函数关系求得的，它们之间的关系是，x=rcos(θ), y=rsin(θ), x^2+y^2=r^2。
找到了四把钥匙，用复合函数的求导法连续展开，最后发现，对x和y的二次偏微分的展开式中，有的项能合并（通过cos^2+sin^2=1),有的项能消去，最终结果只含有三项，相对来说很简洁。最后，在演算稿纸上下方的红框里的表达式即是想要得到的结果。对比之中间过程展开式的繁琐，令人称奇。
也可以引申到三维坐标的状况，极坐标在三维坐标系下的坐标是(r,θ,z)，实际上就是柱坐标系，其中z轴与三轴直角坐标的z轴完全相同，没有变化，这样拉普拉斯在三维坐标下的表达式直接把对第三个坐标z的二次导数加到后面就行了，没有变化。
柱坐标系下的变换还算是简单的（但也写满一页纸了），如果是球坐标系下的变换将更加复杂。
这拉普拉斯方程在不同坐标系下的表达式，能帮助我们理解很多物理过程，在很多场合下非常有用。
如在声场中，Φ可以表示速度势，拉普拉斯方程等于零，表示声场是一个无旋场。
唯一的问题是，这个推导过程应该是最正宗的，但过程感觉太麻烦，是否有更简单的求解方式？
比如说，如果记不住在柱坐标系下的拉普拉斯方程，临时推导的话就要费很多功夫，如果有简单的变换方式那么就非常好了。
详细推导过程见所附图片。
此主题相关图片如下：laplace.jpg
[此贴子已经被作者于2014-04-08 04:34:21编辑过]
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Post By：2014-4-8 4:26:39 [只看该作者]
笃一
